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三角函数

笔记, 高中数学

任意角与弧度制

角的有关概念

角的分类
角的相等

如果两个角的旋转方向相同且旋转量相等,那么这两个角相等。

角的加减法
角的加法

γ=α+β\gamma=\alpha+\beta

相反角的概念

α\alpha 的相反角是 α-\alpha

角的减法

减去一个角等于加上这个角的相反角,即 αβ=α+(β)\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)

终边相同的角

所有与角 α\alpha 终边相同的角,包括角 α\alpha 自己,可构成一个集合 S={ββ=α+k360°,kZ}S={\beta|\beta=\alpha+k\cdot360°,k\in \mathbb{Z}}

任何一个与角 α\alpha 终边相同的角,都可表示成角 α\alpha360°k(kZ)360°k(k\in \mathbb{Z}) 的和,即角 α\alpha 转过了 kk 圈后重合。

象限角与轴线角

在平面直角坐标系中,如果角的顶点与原点重合,角的始边与 xx 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限就是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限角,而是轴线角。

角度制、弧度制的概念

角度制

角可以用度为单位进行度量,1 度角等于周角的 1360\frac{1}{360},这种用度为单位度量角的单位制叫角度制。

弧度制

弧度制是以弧度为单位度量角的单位制,符号 rad,读作弧度。1 弧度的角为长度为半径长的圆弧所对的圆心角。

弧度数公式

在半径为 rr 的圆中,弧长为 ll 的弧所对的圆心角为 α rad\alpha \ rad,那么 a=lr|a|=\frac{l}{r}

角度与弧度的换算

弧度与角度的换算公式

周角的弧度数为 2π2\pi,即 360°=2πrad360°=2\pi rad

用弧度表示终边相同的角

β=2kπ+α(kZ)\beta=2k\pi+\alpha(k\in \mathbb{Z}),这些角组成的集合为 {ββ=2kπ+α,kZ}{\beta|\beta=2k\pi+\alpha,k\in \mathbb{Z}}

弧长公式、扇形面积公式

RR 为数学的半径,nn 为圆心角的角度数,α\alpha 为圆心角的弧度数,则:

三角函数的概念

利用单位圆定义任意角的三角函数。设 P(x,y)P(x,y) 为平面直角坐标系内单位圆上一点,那么 y=sinαy=\sin \alphax=cosαx=\cos \alphayx=tanα(x0)\frac{y}{x}=\tan \alpha(x\neq0)

三角函数的定义域和值域

三角函数 定义域 值域
y=sinαy=\sin \alpha R\mathbb{R} [1,1][-1,1]
y=cosαy=\cos \alpha R\mathbb{R} [1,1][-1,1]
y=tanαy=\tan \alpha {ααR,απ2+kπ,kZ}{\alpha\vert\alpha\in\mathbb{R},\text{且}\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}} R\mathbb{R}

三角函数在各个象限的符号

三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sinα\sin \alpha + + - -
cosα\cos \alpha + - - +
tanα\tan \alpha + - + -

同角三角函数的基本关系及变形

诱导公式